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电导率、弱局域化、与量子混沌(下)

2020-07-25作者: 747次阅读

连结:电导率、弱局域化、与量子混沌(上)

在上文中我们提及,物质波间的干涉会减弱系统的电导率,在本文中我们讨论混沌现象(Chaos)[1]如何对这个减弱这个局域化的效应。

回顾前文,我们对于计算固态系统中电导率的方法稍作了讨论,指出 Drude 图像给出古典的计算结果。然后我们讨论次一阶的量子修正,说明在某些路径上传递的物质波可以建设性干涉,放大粒子在运动时回到原点的机率,等效而言增强电阻、削弱电导,此现象称为弱局域化(weak localization)。

从时间尺度来看,Drude 图像中有一个弛豫时间(relaxation time)对应散射间平均时间间隔。弱局域化问题中有一个相干时间(coherence time)用以标明物质波失去相干性需要的时间长度。

另外我们也有空间尺度,弛豫时间乘上费米速度定义了平均自由径(transport mean free path),是「有效」散射之间平均的空间间隔[2]。物质波的波包大小可用德布罗伊波长代表。所谓的準古典,意指后者比前者小得多,所以物质波看起来跟粒子相异不大。

在本文中,我们将讨论另一种对电导的修正,以及它所对应的时间尺度。

从前文到现在,我们一直说带电粒子可以跟晶格、杂质碰撞跟散射,但一直被遮起来的讯息是这些东西的特徵,比如说他们的大小。事实是前述的计算大多是考虑点状的杂质,也就是远小于物质波波包大小的尺度,这个假设的好处是我们很清楚扩散方程式的解,所以可以计算出一些乾净的答案。倘若这些与粒子散射的物体比波包大得多,扩散方程得到的解是有疑虑的。

电导率、弱局域化、与量子混沌(下)

图一:当散射体(灰色球)的尺寸远大于物质波的波包,散射的过程看起来也像是古典碰撞问题。本图中画出一种轨迹(我用红色代表去程蓝色代表回程),它的初位置与末位置很靠近,但初速度与末速度反平行,在非常靠近在初段与末段的区域(绿框内)扩散方程式不适用。

更精确地说,在扩散方程式中一个假设是没有记忆效应,也就是粒子在运动过程中可能跟同一个物体发生过很多次碰撞,但这些碰撞被视为独立事件。当这些散射体很大的时候,粒子的物质波包运动看起来就像古典粒子,我们可以考虑一种过程,即初速度与末速度反平行,但初位置与末位置只差一点点(如图一所示)。这种运动的初段与末段,处于几乎一样的环境中,依循几乎一样的轨迹,似乎没什幺道理说这两段是无关联的,这便是扩散假设的不适用处。

从另外一个角度看,我们有两条路径,一个从初位置出发(图一中红虚线),一路经过很长的时间带着与初动量反平行的末动量来到末位置,第二条路径(图一中蓝虚线)从末位置出发,带着与前者一路相反的动量来到初位置。这两条路在一开始时是密切相关的,扩散假设不适用; 直到它们之间的距离比散射体的尺寸大,乃至于到达平均自由径的尺寸,此后的碰撞可以由扩散方程式描述。

以一句话摘要这个故事:初始条件相似的两路径,很快的分离并失去关联。岂不是所谓混沌现象的特徵?

也因此这边出现了一个新的时间尺度,叫做埃伦费斯特时间(Ehrenfest time),它正比于散射体大小与德布罗伊波长比值的对数,时间的单位则是李亚普诺夫指数(Lyapunov exponent)分之一。[3]物理上对于这个时间的诠释是,原本的物质波波包透过指数成长长大成散射体大小的时间。也就是从不适用到适用扩散方程需要的时间尺度。

要从这个单一路径的故事决定电导,回忆费曼说的话,当一个粒子从 i 到 ,我们必须加总所有可能的路径来决定机率,如果两路径间长度差异过大,则因为相位差异太大基本上不相干,就像在上集中讨论的,我们必须找出一些可以建设性干涉的轨迹对,我们将这样的轨迹(红色实线与蓝色虚线)画在图二中,这两个轨迹几乎是一模一样的,只是在 A 处,红色线跟自己平行而过而蓝线与自己相交。使得在 B 区,红与蓝的关係便像是前面两段讨论的两路径一样,而根据上一集的论述,在B区,蓝轨迹与他的倒带版本红轨迹有建设性干涉。

将这些轨迹的贡献加总,我们会发现:如果相干时间小于埃伦费斯特时间,则局域化的效果是被减弱的。物理上来说,必须等物质波的波包成长到散射体的大小,弱局域化才会开始显着,假若在这之前,物质波已经因为非弹性散射失去了相干性,就没有后续的局域化现象。

现在在介观物理中,实验学家已经有办法设计大散射体尺寸的系统,因为上面的研究与可观测量电导率直接相关,透过量测,我们有机会去实验量测在古典系统中不易分析的李雅普诺夫指数。

电导率、弱局域化、与量子混沌(下)

图二:计算量子混沌的修正时考虑的路径, a 代表散射体的大小。B 区红色实线与蓝色虚线的干涉状况,就像图一中考虑的路径。


参考资料:

L. Aleiner, A. I. Larkin, Divergence of classical trajectories and weak localization, Phys. Rev. B, 54, 14423 (1996).

注解:

[1] 关于混沌的基本概念,也可以回溯探索讲座第15期:秩序与複杂的华尔滋

[2] 有效这两个字很重要,不然底下读者可能会觉得明明一直在碰撞跟散射,而感到混淆。

[3] 在混沌问题中,李雅普诺夫指数决定两轨迹分离的速率,正的值愈大,整个系统对于初始条件愈敏感。

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